線形と非線形の違いとは？統計やデータサイエンスでの意味と違いをグラフでやさしく解説（医療職向け）

はじめに

統計やデータサイエンスに関する記事を読んでいると、「線形」「非線形」といった言葉をよく目にします。初学者のころ、これらの言葉が何を意味しているのか分かりにくく、戸惑った記憶があります。

先日、ディープラーニングと回帰分析に関する記事を書いた際にも、これらの用語に深くは触れませんでした。しかし、振り返ってみると、「線形」「非線形」の違いは基礎でありながら分かりにくいポイントの一つだと改めて感じました。

そこで今回は、統計や機械学習における「線形」「非線形」という概念について、具体例を交えてわかりやすく解説してみたいと思います。これらの言葉にモヤモヤしていた方の理解の一助となれば幸いです。

注意：この記事では統計・データサイエンス分野での「線形・非線形」について扱います。数学で「線形・非線形」というと加法性・斉次性を満たすもの、となりますがここでは扱いません。

ざっくり言うと、「線形」とは、ある変数が別の変数に対して比例的・一次的に変化する関係を指します。グラフにしたときに直線で表せる関係が「線形関係」です。以下のグラフはすべて線形な関係のデータをグラフにしたものです。

一方で、「非線形」とは、変数同士の関係が直線では表現できない場合を指します。例えば、効果が飽和したり、変化が急激になったりするような関係です。以下のグラフはすべて非線形な関係のデータをグラフにしたものです。

データ例	説明
成人の身長と体重	極端なケースを除けば、一定範囲内で直線的な関係があります。
薬の投与量と血中濃度（初期段階）	投与量に比例して血中濃度が増加する場合、線形とみなせます。
年齢と骨密度（特定年齢層）	50〜70歳など特定の年齢層では、骨密度が年齢とともに直線的に低下する傾向があります。
歩行速度とFIMスコア	歩行速度の上昇に伴ってFIM（運動機能評価スコア）も直線的に上昇する場合があります。

データ例	説明
薬の投与量と効果	閾値を超えると次第に効果が増すが、一定量を超えると頭打ちになる（用量反応曲線）。
年齢とMMSEスコア（認知機能）	高齢になるにつれて認知機能が急激に低下し、直線では捉えにくい。
リハビリの訓練日数と効果	初期に急激に改善するが、次第に効果が鈍化する（学習曲線）。
心拍数と運動強度	強度が上がると心拍数も上がるが、一定以上には上がらない。
腫瘍サイズと症状	初期段階では無症状だが、閾値を超えると急に症状が出る。
運動負荷量と効果	適度な負荷が最も効果的で、負荷が大きすぎても小さすぎても効果が低下する。

医療分野では、

「ある閾値を超えると急に効果が出てくる」

「ある閾値を超えると、徐々に効果が薄れてくる」

といったような非線形関係がよく見られます。

「非線形」という言葉は、使われる文脈によってニュアンスが少し異なります。

この違いを意識すると、論文や解析結果の理解が深まります。

データを調べるときの解析手法も、線形モデル・非線形モデルと言う事があります。線形モデルは変数間の関係を直線的な物として扱いますが、非線形モデルでは直線関係に限らず様々な関係性を扱うことが出来ます。以下に、それぞれのモデルの特徴と代表的な手法を記載します。

特徴：
- 複雑な関係性を柔軟に捉えられる
- 高精度な予測が可能だが、解釈は難しくなりやすい
- 過学習のリスクがあるため注意が必要
代表的な手法：
- ディープラーニング（ニューラルネットワーク）
- SVM（非線形カーネルの利用）
- 決定木・ランダムフォレスト・XGBoostなど